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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4. Determine $k \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)=\frac{x+k}{x^{2}+1}$ alcance un extremo local en $x=2$. ¿Es un máximo o un mínimo local?
Respuesta
Vamos a pensar bien esto. Tenemos una función $f$ y queremos que $x=2$ sea un extremo local... ¿Qué tendrá que pasar entonces? Bueno, si $x=2$ es máximo o mínimo, entonces $f'(2) = 0$ ¿Lo ves?
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Entonces vamos a organizarnos así: Derivemos $f$, planteemos que $f'(2) = 0$ y de ahí despejemos $k$ =) Vamos con eso...
Para derivar $f$ usamos regla del producto:
\( f'(x) = \frac{(x^2+1) - (x+k)2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 - 2kx}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 - 2kx + 1}{(x^2+1)^2} \)
Y ahora planteeamos que $f'(2) = 0$
$f'(2) = \frac{-2^2 - 2k(2) + 1}{(2^2+1)^2} = 0$
$\frac{-3 - 4k}{25} = 0$
Y terminamos de despejar $k$
\( k = -\frac{3}{4} \)
Por lo tanto, si \( k = -\frac{3}{4} \) entonces $x=2$ es un extremo local de $f$.
Ahora nos preguntamos, ¿es máximo o mínimo?
Fijate que el dominio de $f$ es $\mathbb{R}$, y ya sabemos que $x=2$ es punto crítico, veamos si hay otros.
Volvamos a $f'(x)$ e igualemosla a cero, a ver si nos aparece únicamente $x=2$ como punto crítico o hay más. Ya habiendo reemplazado \( k = -\frac{3}{4} \) nos queda:
$\frac{-x^2 + \frac{3}{2}x + 1}{(x^2+1)^2} = 0$
$-x^2 + \frac{3}{2}x + 1 = 0$
Si aplicás acá la fórmula resolvente, llegas a que los resultados son $x=2$ (perfecto, ya sabíamos) y $x= -\frac{1}{2}$
Es decir, nos quedaron delimitados estos intervalos:
- $(-\infty, -\frac{1}{2})$
- $(-\frac{1}{2}, 2)$
- $(2, +\infty)$
Nos fijamos el signo de $f'(x)$ en cada uno:
En \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
En \( (-\frac{1}{2}, 2) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
En \( (2, +\infty) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
Por lo tanto, $x = -\frac{1}{2}$ es un minimo y $x=2$ es un máximo 🙂